Bất đẳng thức Cosi và cách sử dụng bất đẳng thức Cosi

Ngay từ trường tiểu học, chúng ta đã quen với mức trung bình và trung bình, phải không? Và khi chúng ta đi lên cao hơn, chúng ta sẽ thấy rằng sự bất bình đẳng cũng được sử dụng dưới nhiều hình thức khác nhau.

Cái được sử dụng nhiều nhất có lẽ là bất cứ công thức Cosi nào. Vậy bất đẳng thức Cosi được định nghĩa như thế nào? Làm thế nào để chứng minh sự bất bình đẳng Cosi? Có kỹ thuật nào sử dụng bất đẳng thức Cosi để chứng minh các bất đẳng thức khác không? …

Các câu hỏi của bạn liên quan đến bất bình đẳng Cosi sẽ được trả lời trong bài viết sau. Giữ nguyên!

Khái niệm bất bình đẳng Cosi

Trong toán học, bất đẳng thức Cosi là bất đẳng thức so sánh giữa trung bình số học và trung bình hình học của n số thực không âm được nêu như sau:

Tải game crack việt hoá tại: https://daominhha.com

Giá trị trung bình số học của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc bằng giá trị trung bình hình học của chúng. Và trung bình chỉ bằng trung bình hình học khi và chỉ khi số n bằng nhau.

Với n số thực không âm

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi:

Bất đẳng thức Cosi cho 2 số không âm

Dấu hiệu = = xảy ra khi và chỉ khi a = b

Bất đẳng thức Cosi cho 3 số không âm

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b = c

Bất đẳng thức Cosi cho 4 số không âm

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d

>>> Xem thêm:  Cách xóa Group Facebook trên điện thoại, xóa nhóm

Chứng minh bất đẳng thức Cosi

1. Chứng minh rằng bất đẳng thức Cosi với 2 số thực a và b là không âm

Chúng ta thấy rằng với a = 0 hoặc b = 0, bất đẳng thức luôn luôn đúng. Do đó, chúng tôi chỉ chứng minh bất đẳng thức Cosi với 2 số dương mà thôi.

  • Bất đẳng thức đã cho luôn đúng với ∀ a, b dương (dcm)

2. Chứng minh rằng bất đẳng thức cosin với 3 số thực a, b và c là không âm

Với a = 0 hoặc b = 0 hoặc c = 0, bất đẳng thức luôn luôn đúng. Do đó, chúng tôi chỉ chứng minh bất đẳng thức cosin với 3 số dương mà thôi.

Đặt:

Suy ra:

Suy ra:

Sự bất bình đẳng được quy cho:

Dấu hiệu = = xảy ra khi x = y = z tương đương với a = b = c.

3. Chứng minh rằng bất đẳng thức Cosi với 4 số thực a, b, c, d là không âm

Với a = 0 hoặc b = 0 hoặc c = 0 hoặc d = 0, bất đẳng thức luôn luôn đúng. Do đó, chúng tôi cũng chứng minh bất đẳng thức cosin chỉ với 4 số dương.

Thay thế:

  • Chúng ta có một cosi bất đẳng thức cho 3 số dương.

4. Chứng minh rằng bất đẳng thức Cosi với n số thực là không âm

Chứng minh rằng bất đẳng thức Cosi với n số dương

n = 2 là bất đẳng thức đúng.

Nếu bất đẳng thức đúng với số n thì nó cũng đúng với số 2n.

Chúng tôi có thể chứng minh điều đó đơn giản vì:

Theo cảm ứng, bất đẳng thức đúng với n là lũy thừa của 2.

Mặt khác, giả sử rằng bất đẳng thức là đúng với n số, chúng ta cũng có thể chứng minh rằng nó đúng với n – 1 số như sau:

>>> Xem thêm:  Cách chuyển đổi thời gian thành số thập phân trong Excel

Theo bất đẳng thức cosin cho n số:

Chọn:

Đây là bất đẳng thức cosin (n-1). Vậy ta có ddcmcm.

Các quy tắc chung để chứng minh bất bình đẳng sử dụng bất đẳng thức cosi

  • Quy tắc song song: hầu hết các bất đẳng thức là đối xứng, do đó, sử dụng các bằng chứng song song sẽ giúp dễ dàng hình dung kết quả hơn, cũng như hướng dẫn giải pháp nhanh hơn.
  • Quy tắc bằng: Dấu “=” trong bất đẳng thức rất quan trọng. Nó giúp chúng tôi kiểm tra tính hợp lệ của bằng chứng. Nó hướng dẫn chúng ta phương pháp giải, dựa trên điểm bất bình đẳng. Do đó, bạn phải rèn luyện cho mình thói quen tìm điều kiện cho sự xuất hiện của dấu “=”.
  • Quy tắc đồng thời của các dấu bằng: Một quy tắc khi áp dụng các bất đẳng thức này song song là điểm rơi phải đồng thời, nghĩa là các dấu “=” phải được sử dụng thỏa đáng với một điều kiện của biến.
  • Quy tắc ranh giới: Cơ sở của quy tắc ranh giới này là các vấn đề lập kế hoạch tuyến tính, các vấn đề tối ưu hóa, các vấn đề cực đoan bị ràng buộc, giá trị tối thiểu của nhiều biến trên một miền đóng. Chúng tôi biết rằng các giá trị tối đa và tối thiểu thường xảy ra tại các vị trí biên và các đỉnh nằm trên đường biên
  • Quy tắc đối xứng: Bất đẳng thức thường đối xứng nên vai trò của các biến trong bất đẳng thức là như nhau nên dấu “=” thường xảy ra tại vị trí mà các biến đó bằng nhau. Nếu vấn đề có điều kiện đối xứng, chúng ta có thể chỉ ra rằng dấu “=” xảy ra khi các biến bằng nhau và mang một giá trị cụ thể. Kích thước của bất đẳng thức: “”, “” cũng sẽ giúp chúng tôi hướng dẫn bằng chứng: đánh giá từ TBC đến Tây Ban Nha và ngược lại.
>>> Xem thêm:  Microchip tung “chiến binh” mới: Mô-đun vi điều khiển đầu tiên cho thiết bị ngoại vi

Ví dụ: sử dụng bất đẳng thức Cosi để chứng minh bất đẳng thức khác

Bạn có thể tham khảo ví dụ dưới đây.

ví dụ 1: Cho hai số thực không âm a và b. Chứng minh (a + b) (1 + ab) 4ab.

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số thực không âm mà chúng ta có:

Bình đẳng xảy ra <=> a = b = 1.

Ví dụ 2: Với a, b> 0. Chứng minh:

Giải: Áp dụng bất đẳng thức Cosi cho 2 số thực không âm mà chúng ta có:

Bình đẳng xảy ra <=> a = b.

Vì vậy, trên đây là những kiến ​​thức cơ bản về bất đẳng thức Cosi itqnu.vn chia sẻ với các bạn. Hy vọng kiến ​​thức này sẽ phần nào giúp bạn trong quá trình học tập. Chúc may mắn!